Senin, 09 November 2015

SRUKTUR ALJABAR "GRUP"



Grup
Definisi dan Contoh Grup
Definisi Operasi Biner
Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi biner pada himpunan G adalah suatu fungsi yang memasangkan setiap pasangan terurut unsur-unsur di G ke unsur di G.
Definisi Grup
Misalkan G himpunan tidak kosong bersama dengan operasi biner (biasanya disebut perkalian) yang memasangkan setiap pasangan terurut (a, b) unsur-unsur dari G ke unsur dari G dinotasikan dengan ab. G disebut grup dengan operasi tersebut jika tiga sifat berikut dipenuhi.
1.      Asosiatif
Operasi bersifat asosiatif, yaitu (ab) c = a (bc) untuk setiap a, b, c anggota G.
2.      Identitas
Ada elemen e  (disebut identitas) dalam G, sehingga ae = ea = a untuk setiap a anggota G.
3.      Invers
Untuk setiap a anggota G, terdapat elemen b anggota G (disebut invers dari a) sedemikian rupa sehingga ab = ba = e.
Suatu himpunan yang memenuhi ketiga sifat di atas, di mana setiap pasangan elemen yang dikombinasikan menghasilkan elemen yang tetap berada dalam himpunan tersebut disebut memenuhi kondisi tertutup (closure). Pastikan untuk memeriksa sifat tertutup ketika menguji suatu himpunan termasuk grup atau bukan. Sebagai catatan tambahan, jika a adalah invers dari b maka b adalah juga invers dari a.
Jika suatu grup memenuhi sifat ab = ba untuk setiap pasangan unsur a dan b, maka grup tersebut Abelian. Jika sebaliknya disebut non-Abelian.

Contoh 1
Himpunan bilangan bulat Z (berasal dari bahasa Jerman yang berarti Zahlen), himpunan bilangan rasional Q (quotient), dan himpunan bilangan real R semuanya merupakan grup dengan operasi penjumlahan biasa. Identitas dari masing-masing grup tersebut adalah 0 dan invers dari a adalah –a.
Contoh 2
Himpunan bilangan bulat dengan operasi perkalian biasa bukanlah grup. 1 adalah identitas, namun sifat ke-3 suatu Grup tidak terpenuhi. Misalnya, tidak ada bilangan b sehingga 5b = 1
Contoh 3
Himpunan bagian {1, - 1, i, -i} dari bilangan kompleks adalah grup terhadap perkalian kompleks. -1 adalah invers bagi dirinya sendiri, sedangkan invers i adalah -i begitupun sebaliknya.
Contoh 4
Himpunan bilangan rasional positif Q+  adalah grup terhadap perkalian biasa. Invers dari a adalah 1/a = a-1
Contoh 5
S adalah himpunan bilangan irasional positif dan bilangan 1 dengan operasi perkalian yang memenuhi tiga sifat yang diberikan dalam definisi suatu grup tetapi bukan grup.  . , jadi S tidak tertutup terhadap operasi perkalian.
Contoh 6
Diketahui matriks 2 x 2  . Himpunan semua matriks 2 x 2 dengan unsur bilangan riil adalah grup dengan operasi penjumlahan componentwise.
Identitas matrix adalah  dan invers dari     adalah
Contoh 7
Himpunan Zn = {0, 1, …., n – 1} untuk n ≥ 1 adalah grup dengan operasi penjumlahan modulo n. Untuk setiap j > 0 dalam Zn, invers dari j adalah nj. Grup ini disebut grup bilangan bulat modulo n.
Contoh 8
R* himpunan bilangan riil bukan nol adalah grup terhadap perkalian biasa. Identitasnya adalah 1. Invers a adalah 1 / a.
Contoh 9
Determinan martiks 2x2  adalah ad - bc. Jika A adalah matriks 2x2, det A berarti determinan A.Himpunan
GL (2, R) =
Matriks 2x2 dengan anggota nyata dan determinan bukan nol adalah kelompok non-Abelian metode  operasi
Contoh 10
Himpunan matriks 2x2 dengan anggota bilangan real bukanlah kelompok metode operasi yang didefinisikan pada contoh 9. invers tidak ada saat determinannya 0.
Sekarang kita telah menunjukkan bagaimana membuat subset dari bilangan real dan subset dari himpunan matriks 2x2 dalam kelompok multiplikatif, kita selanjutnya mempertimbangkan perkalian bilangan bulat dalam modulo n.
Contoh 11
Untuk setiap n > 1, kita mendefinisikan U(n) untuk menjadi himpunan semua bilangan bulat positif kurang dari n dan relatif prima dengan n. maka U(n) adalah grup bawah perkalian modulo n. (kita tinggalkan sebagai latihan bukti bahwa set ini tertutup terhadap operasi ini.)
Untuk n = 10, kita memiliki U(10) = {1, 3, 7, 9}. tabel Cayley untuk U(10) adalah
mod 10
1
3
7
9
1
1
3
7
9
3
3
9
1
7
7
7
1
9
3
9
9
7
3
1
 
(ingat bahwa ab mod n adalah biangan bulat r unik dengan properti ab = nq + r, dimana 0 ≤ r <n dan ab adalah perkalian biasa.) dalam hal ini bahwa n adalah  prima U(n)={1, 2, …., n-1}.
Dalam buku aljabar klasiknya der Lehrbuch, yang diterbitkan pada tahun 1899, Heinrich Weber memberikan perlakuan yang luas dari kelompok U (n) dan dideskripsikan mereka sebagai contoh yang paling imporant dari grous Abelian terbatas.
Contoh 12
Himpunan {0,1,2,3} adalah bukan kelompok metode perkalian modulo 4. Meskipun 1 dan 3 memiliki invers, unsur-unsur 0 dan 2 tidak.
{0,1,2,3} bukan grup
Pembuktiannya:
1.      Asosiatif
Misal:
1 ( 2 . 3 ) = (1 . 2) 3
         6     =     6 à benar asosiatif
Syarat 1 terpenuhi
2.      Identitas
{0, 1, 2, 3} memiliki identitas yaitu 1
Syarat 2 terpenuhi
3.      Invers
{0,1,2,3}
§  Invers 0
Misal:        0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
0 x 2 = 0
0 x 3 = 0
Maka 0 tidak memiliki invers
§  Invers 1
1 x 1 = 1 maka invers 1 adalah 1
§  Invers 2
2 x 0 = 0
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
Maka 2 tidak memiliki invers
§  Invers 3
3 x 1 = 3 = 1 mod 4 → maka invers 3 adalah 1
Syarat 3 tidak terpenuhi
Contoh  13
Himpunan bilangan bulat operasi pengurangan bukan grup, karena operasi tidak asosiatif.
Dengan contoh yang diberikan jauh sebagai panduan, adalah kebijakan bagi pembaca untuk berhenti sejenak di sini dan memikirkan contoh sendiri. belajar aktif! tidak hanya membaca bersama dan disuapi oleh buku.
Misalkan :
{0,1,2,3,4}
Asosiatif
(1 – 2) – 3 = 1 – (2 – 3)
        -1 – 3 = 1 – (-1)
              -4 ≠ 2
Berarti terbukti bahwa bilangan bulat dengan operasi pengurangan adalah bukan group
Contoh 17:
SL (2, Z5)
            Z5 =
Carilah invers matrik A =
Determinan A = ad – bc
                        = 12 – 16 = -4 = 1 mod 5
Invers A =  =
Cek        =    =  =
Contoh 18
GL (2, Z7)
            Z7 =  
Carilah invers matrik A =
Determinan A = ad – bc
                        = 12 – 30 = -18 = 3 mod 7
Invers 3 mod 7 adalah 5 mod 7 karena 3.5 = 15 = 1 mod 7
Invers A
 =  =  = 
Cek         =    =  =

Soal dan Pembahasannya
1.      Tunjukkan apakah Z15 grup!

2.      Buatlah tabel Cayley untuk U(15) dan buktikan apakah U(15) grup?

3.      Tentukan invers dari   pada GL(2, Z5)!

4.      Tentukan invers dari   pada SL(2, Z5)!

5.      Tunjukkan bahwa {1, 2, 3} dengan operasi perkalian modulo 4 bukanlah grup sedangkan {1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5 adalah grup!

Pembahasan
{1, 2, 3} mod 4 dengan operasi perkalian adalah bukan grup.
Syarat Grup:
1.      Asosiatif, sebab → 1 (2 . 3) = (1 . 2) 3
2.      Identitas, yaitu 1
3.      Tidak memiliki invers, karena:
1 . 1 = 1 maka invers 1 adalah 1
2 .    ≠ 1
3 . 3 = 9 = 1 mod 4 maka invers 3 adalah 3
Karena 2 tdak mempunyai invers, maka {1, 2, 3} adalah bukan grup
v  {1, 2, 3, 4} mod 5 perkalian adalah grup
Syarat grup:
1.      Assosiatif, karena
(2      . 3) . 4 = 2 . (3 . 4)
         1 . 4 = 2 . 2
              4 = 4
2.      Identitas
Yaitu 1 merupakan identitas
3.      Invers
1 . 1 = 1 → invers 1 adalah 1
2 . 3 = 6 → 1 mod 5, maka invers 2 adalah 3
3 . 2 = 6 → 1 mod 5, maka invers 3 adalah 3
4 . 4 = 16 → 1 mod 5, maka invers 4 adalah 4
No. 5, hal 52
GL (2, Z11)
            Z11 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Invers matrik   A =
Det. A = ad – bc
            = 10 – 18 = -8 = 3 mod 11
            Invers determinan 3 mod 11 adalah 4, karena 3 . 4 = 12 = 1 mod 11
InversA
 
Cek  
No. 25, hal. 53
+
E
a
B
c
d
E
E
a
B
c
d
A
A
b
C
d
e
B
B
c
D
e
a
C
C
d
E
a
b
D
D
e
A
b
c

+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
Penyelesaiannya dengan menggunakan operasi penjumlahan.
SIFAT-SIFAT DASAR DARI GROUP
Sekarang kita dapat melihat banyak macam contoh dari sebuah group. Kami ingin memberi kesimpulan beberapa sifat yang mereka berikan. Definisi itu sendiri memunculkan pertanyaan yang fundamental. Setiap group memiliki satu identitas. Pertanyaannya apakah group memiliki identitas lebih dari satu? Setiap group memiliki satu invers. Pertanyaannya apakah group memiliki invers lebih dari satu? Sekarang tidak bisa membuktikan bahwa setiap group memiliki identitas tunggal hanya dilihat dari contohnya, karena setiap contoh tidak dapat dipisahkan dari sifat yang tidak bisa diberikan oleh setiap group.
Teorema 2.1 Ketunggalan Dari Suatu Identitas
“Di dalam sebuah group, hanya ada 1 element identitas”
Bukti. Andaikan kedua ini e dan e’ adalah identitas dari G. Lalu,
1.      ae = a semua bagian a dalam G, dan
2.      e’a = a semua bagian a dalam G.
Pilihan dari a = e’ adalah yang nomor satu (1) dan a = e adalah yang nomor dua (2) hasilnya adalah e’e = e’ dan e’e = e. Dengan demikian e dan e’ adalah sama dengan e’e dan begitu juga sama pada setiap lainnya.
Jadi pada intinya, bahwa dalam satu group itu hanya ada satu (1) identitas, penyimbolan identitas, penyimbolan identitas dalam group adalah e (karena berasal dari bahasa Jerman, Einheit yang berarti identitas).
Teorema 2.2 Pembatalan
“Didalam group G dari kanan ke kiri dengan menggunakan hukum didalam pembatalan yang saling berkaitan dengan ba = ca yang mengakibatkan b = c, dan ab = ac mengakibatkan b =c.”
Bukti. Dengan menggangap bahwa ba = ca. Maka a’ adalah invers dari a. Kemudian, dikalikan dari kanan untuk amenghasilkan (ba)a’ =(ca)a’. Maka akan menghasilkan sifat asosiatif b(aa’) = c(aa’). Kemudian, be = ce dan maka dari itu, b = c. Lalu, kita membuktikan bahwa ab = ac implikasi dari      b = c. Perkalian a dari kiri.
Pemecahan masalah yang ada didalam sifat cancellation yang ada didalam tabel Cayle yang telah dibahas dengan menggunakan tabel dan kolom. (lihat latihan no. 24). Pemecahan sifat cancellation akan lebih diperdalam didalam materi Ketunggalan dari Invers.
Teorema 2.3  Ketunggalan Dari Invers
“Untuk setiap elemen a dalam group G, ada sebuah b ​​elemen tunggal dalam G sehingga ab = ba = e”
Bukti. Jika b dan c keduanya invers dari a. maka ab = e dan ac = e, sehingga ab = ac itu. Sekarang abaykan a.
Seperti yang terjadi dengan elemen identitas, itu adalah biasa, dalam pandangan Teorema 2.3, untuk berbicara tentang "invers" dari elemen group g; dan, pada kenyataannya, kita jelas dapat menunjukkan itu dengan g-1. Notasi ini disarankan dengan yang digunakan untuk bilangan real biasa terhadap perkalian. Sama, ketika n adalah bilangan bulat positif, gn digunakan untuk menunjukkan hasil.
gg..............g (n faktor)
Kita mendefinisikan g0 = e. Bila n negatif, kita mendefinisikan gn = (g-1)-n [misalnya, g-3 = (g-1)3] dengan notasi, hukum akrab eksponen pegangan untuk group; berlaku untuk semua bilangan bulat m dan n dan semua elemen group g, kami telah gmgn = gm+n dan (gm)n = gmn.  Walaupun salah satu cara memanipulasi ekspresi group yang melibatkan dua elemen group. Sehingga untuk group umum, (ab)n anbn (lihat latihan no. 15).
Kita juga harus berhati-hati dengan notasi ini ketika berhadapan dengan group tertentu yang pasangan operasinya adalah penambahan dan menyatakan dengan "+". Dalam hal ini, definisi dan properti group dinyatakan dalam notasi perkalian harus diartikan ke notasi penjumlahan. Misalnya, invers g ditulis sebagai -g, demikian juga misalnya g3di tulis g + g + g  dan biasanya di tulis seperti 3g, sedangkan g-3 di tulis (-g) + (-g)+(-g) dan ditulis seperti -3g.  Notasi penjumlahan.
Tabel 2.2
Group Perkalian
Group Pembagian
a . b atau ab
Perkalian
a + b
Pembagian
e atau 1
Identitas atau satu
0
Nol
a-1
Perkalian invers dari a
-a
Penjumlahan invers dari a
an
Power dari a
na
Perkalian dari a
ab-1
Hasil bagi
a - b
Pengurangan

yang digunakan, jangan "ng" sebagai menggabungkan n dan g di dalam operasi group; n bahkan mungkin tidak menjadi unsur group! tidak seperti kasus untuk bilangan real dalam group abstrak, kami tidak mengizinkan eksponen  bukan bilangan bulat seperti g½. Pada Tabel 2.2 menunjukkan notasi umum dan terminologi yang sesuai dengan group dalam perkalian dan penjumlahan dalam group. Seperti dalam kasus untuk bilangan real, kita menggunakan a-b sebagai singkatan untuk  a+(-b). Karena mempunyai sifat asosiatif, kita jelas dapat menulis tanda abc, untuk hal ini dapat diartikan sebagai hanya cukup (ab)c atau a(bc), yang sama. Pada kenyataannya, dengan induksi menggunakan dan penerapan berulang dari sifat asosiatif, seseorang dapat membuktikan sebuah sifat asosiatif umum bahwa pada dasarnya berarti kurung dapat dimasukkan atau dihapus tanpa akan  mempengaruhi nilai suatu hasil yang melibatkan jumlah elemen group. Demikian
dan sebagainya.             
CATATAN SEJARAH
Kami menutup bab ini dengan sedikit sejarah mengenai sifat tidak komutatif dari matrik perkalian. Pada tahun 1925, Teori Kuantum merupakan teori yang penuh dengan mengubah dan menyusun ambiguitas. Dia Werner Heisenberg yang berpengaruh pada hal tersebut. Dia mengamati hasil dari teori analogi yang tidak perlu merubah seri klasik Fourier. Atas semua kegigihannya yang mengguncangkan Heisenberg. Seperti dalam suratnya [Bab 2, hal 94]:
Dalam penelitian, saya sangat tidak setuju tentang fakta xy yang tidak sama dengan yx. Saya rasa itu hanya sebuah kesukaran dalam keseluruhan rencana, sebaliknya saya sangat bahagia. Namun kesukaran ini membuat saya sangat khawatir dan saya tidak dapat memecahkan masalah itu.
Heisenberg berbicara kepada gurunya Max Born, jika ide-idenya dipublikasikan akan sangat berharga. Dengan munculnya pendekatan baru milik Heisenberg sangat mengagumkan dan sangat mendalam. Seperti dalam tulisannya [Bab 1, hal 217]:
Setelah pengiriman karya ilmiah atau hasil penelitian Heisenberg untuk Zeitschrift fur Physik agar dipublikasikan. Saya memulainya dengan mempertimbangkan simbol perkalian dan akan segera berbelit-belit mengenai gagasan saya tentang keseluruhan jumlah dari tidur yang nyenyak pada malam hari. Saya rasa akhir dari sesuatu hal yang pokok akan mengalami penyempurnaan dalam beberapa tahun. Suatu hari, pada tanggal 10 Juli 1925, saya tiba-tiba melihat cahaya, tidak hanya simbol perkalian Heisenberg, namun  kalkulus matrik. Sejak itu saya mengenalkan kepada murid saya dari dosen Rosanes di Breslau.
Born dan muridnya, Pascual Jordan, memformulakan kembali ide Heidenberg di dalam teorema Matrik, tapi Heisenberg yang mengkreditkan formulanya. Di buku autobiografinya, Born Lament [Bab 1, hal 219]:
Sekarang, semua Buku berbicara tentang Matrix Heisenberg, Hukum Commutation Heisenberg, dan Direc Filed Quantization. Kenyataanya, Heisenberg tahu waktu sangat sedikit untuk mempelajari matrik.
Pada tahun 1933, ia menerima hadiah Nobel untuk karyanya selama ini. Lalu ia mengirim surat kepada Max Born [Bab 1, hal 220]:
Jika saya selama ini belum menuliskan sesuatu kepada anda, dan saya belum berterima kasih atas ucapan selamat anda. Itu karena sebagian dalam diri saya buruk, yang tidak menghormati anda. Dan kenyataanya saya mendapatkan hadiah Nobel Prize sendiri, untuk pekerjaan yang saya, kamu dan Jordan lakukan di Gottingen, dan ini membuat saya berat dalam menuliskan surat ini kepada anda. Saya senang upaya yang kita lakukan bersama di beri apresiasi atau penghargaan, dan saya selalu senang tentang ingatan-ingatan kebersamaan dan kerja sama kita. Saya sangat percaya, para fisikawan-fisikawan tahu betapa hebatnya anda dan Jordan dalam kontribusi kalian dalam menyusun teori Kuantum, walaupun tidak merubah keputusan. Mungkin saya perlu berterima kasih lagi atas kerjasama yang telah kita lakukan selama ini.
Certia pun berakhir indah, bagaimanapun Max Born tetap mendapatkan hadiah dari Nobel di tahun 1945 untuk Landasan Kuantum yang ia kemukakan.
Latihan (Hal. 52 dan 53)
5.   Carilah unsur invers dari  2     6   elemen di GL (2, Z11).                                3     5
      Jawaban:
      2 6 elemen di GL (2, Z11).                                             3       5
               Det   = (2 . 5) – (3 . 6)
                        = 10 -18
                        = -8
                        = 3 mod 11      
      GL (2, Z11)
      Invers:       a     b              d    -b
                        c     d             -c    a
                        2     6      =      5    -6
                        3     5               -3    2
                                         =     5.4    5.4
                                                8.4    2.4
                                         =     9     9
                                                10   8
      Bukti:        2     6   9     9     =       1     0
                        3     5    10   8              0     1
17. Buktikan bahwa group G adalah abelian jika dan hanya jika (ab)-1 = a-1 b-1  untuk semua a  dan b di G.
Jawaban:
(ab)‑1 = a-1b-1 untuk semua a dan b di G
Bukti: a group G = abelian
            (ab)a-1-1        = a(b.b-1).a-1
                                    = a.e.a-1
                                    = e
            (ab)(a-1b-1)       = abelian
18. Di dalam group, buktikan bahwa (a-1)-1 = a untuk semua a.
Jawaban:
            (a-1)-1  = a
            G = {a}
      Dengan menggunakan identitas: (am)n = amxn
Maka: (a-1)-1           =
                                    =
                                    = a

2 komentar:

  1. Sip postingannya.

    uk all kunjungi www.ebook-matematika-sd.com

    BalasHapus
  2. Jika Q adalah himpunan bilangan rasional dan * adalah operasi pada Q yang didefenisikan
    sebagai
    𝑎
    𝑏

    𝑐
    𝑑
    =
    𝑎
    𝑏

    3
    5
    𝑥
    𝑐
    𝑑
    untuk setiap
    𝑎
    𝑏
    ,
    𝑐
    𝑑
    ϵ Q, maka
    2
    3

    1
    6
    = ....

    BalasHapus