Grup
Definisi dan
Contoh Grup
Definisi
Operasi Biner
Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi biner pada himpunan G adalah suatu fungsi yang memasangkan setiap
pasangan terurut unsur-unsur di G ke unsur di G.
Definisi Grup
Misalkan G himpunan tidak kosong bersama dengan operasi biner
(biasanya disebut perkalian) yang memasangkan setiap pasangan terurut (a, b)
unsur-unsur dari G ke unsur dari G dinotasikan dengan ab. G disebut grup dengan operasi tersebut jika tiga sifat berikut
dipenuhi.
1.
Asosiatif
Operasi bersifat asosiatif, yaitu (ab) c = a (bc)
untuk setiap a, b, c anggota G.
2.
Identitas
Ada elemen e
(disebut identitas) dalam G, sehingga ae = ea = a untuk setiap a anggota G.
3.
Invers
Untuk setiap a anggota G, terdapat elemen b anggota G (disebut invers dari a) sedemikian rupa sehingga ab = ba
= e.
Suatu himpunan yang
memenuhi ketiga sifat di atas, di mana setiap pasangan elemen yang
dikombinasikan menghasilkan elemen yang tetap berada dalam himpunan tersebut
disebut memenuhi kondisi tertutup (closure).
Pastikan untuk memeriksa sifat tertutup ketika menguji suatu himpunan termasuk
grup atau bukan. Sebagai catatan tambahan, jika a adalah invers dari b
maka b adalah juga invers dari a.
Jika suatu grup
memenuhi sifat ab = ba untuk setiap pasangan unsur a dan b, maka grup tersebut Abelian.
Jika sebaliknya disebut non-Abelian.
Contoh 1
Himpunan bilangan bulat Z
(berasal dari bahasa Jerman yang berarti Zahlen), himpunan bilangan
rasional Q (quotient), dan himpunan bilangan real R semuanya merupakan grup dengan operasi penjumlahan biasa. Identitas
dari masing-masing grup tersebut adalah 0 dan invers dari a adalah –a.
Contoh 2
Himpunan bilangan bulat dengan operasi perkalian biasa bukanlah
grup. 1 adalah identitas, namun sifat ke-3 suatu Grup tidak terpenuhi.
Misalnya, tidak ada bilangan b sehingga 5b = 1
Contoh 3
Himpunan bagian {1, - 1, i, -i} dari bilangan
kompleks adalah grup terhadap perkalian kompleks. -1 adalah invers bagi dirinya
sendiri, sedangkan invers i adalah -i begitupun sebaliknya.
Contoh 4
Himpunan bilangan rasional positif Q+ adalah grup
terhadap perkalian biasa. Invers dari a adalah 1/a = a-1
Contoh
5
S adalah himpunan bilangan irasional positif dan bilangan 1 dengan
operasi perkalian yang memenuhi tiga sifat yang diberikan dalam definisi suatu grup
tetapi bukan grup.
.
, jadi S tidak tertutup terhadap operasi
perkalian.
Contoh 6
Diketahui matriks 2 x 2
. Himpunan semua matriks 2 x 2
dengan unsur bilangan riil adalah grup dengan operasi penjumlahan componentwise.
Identitas matrix adalah
dan invers dari
adalah
Contoh 7
Himpunan Zn
= {0, 1, …., n – 1} untuk n ≥ 1 adalah grup dengan operasi penjumlahan
modulo n. Untuk setiap j > 0 dalam Zn, invers dari j
adalah n – j. Grup ini disebut grup bilangan bulat modulo n.
Contoh 8
R* himpunan bilangan riil bukan nol adalah grup terhadap perkalian
biasa. Identitasnya adalah 1. Invers a adalah 1 / a.
Contoh 9
Determinan martiks 2x2
adalah ad - bc. Jika A adalah matriks 2x2, det
A berarti determinan A.Himpunan
GL (2, R) =
Matriks 2x2 dengan anggota nyata dan determinan bukan nol adalah
kelompok non-Abelian metode operasi
Contoh 10
Himpunan matriks 2x2 dengan anggota bilangan real bukanlah kelompok
metode operasi yang didefinisikan pada contoh 9. invers tidak ada saat
determinannya 0.
Sekarang kita telah menunjukkan bagaimana membuat subset dari
bilangan real dan subset dari himpunan matriks 2x2 dalam kelompok
multiplikatif, kita selanjutnya mempertimbangkan perkalian bilangan bulat dalam
modulo n.
Contoh 11
Untuk setiap n > 1, kita mendefinisikan U(n) untuk menjadi
himpunan semua bilangan bulat positif kurang dari n dan relatif prima dengan n.
maka U(n) adalah grup bawah perkalian modulo n. (kita tinggalkan sebagai
latihan bukti bahwa set ini tertutup terhadap operasi ini.)
Untuk n = 10, kita memiliki U(10) = {1, 3, 7, 9}. tabel Cayley
untuk U(10) adalah
mod 10
|
1
|
3
|
7
|
9
|
1
|
1
|
3
|
7
|
9
|
3
|
3
|
9
|
1
|
7
|
7
|
7
|
1
|
9
|
3
|
9
|
9
|
7
|
3
|
1
|
(ingat bahwa ab mod n adalah biangan bulat r unik dengan properti ab = nq + r, dimana 0 ≤ r <n dan ab adalah perkalian biasa.) dalam hal ini bahwa n adalah prima U(n)={1, 2, …., n-1}.
Dalam buku aljabar klasiknya der Lehrbuch, yang diterbitkan pada
tahun 1899, Heinrich Weber memberikan perlakuan yang luas dari kelompok U (n)
dan dideskripsikan mereka sebagai contoh yang paling imporant dari grous
Abelian terbatas.
Contoh 12
Himpunan {0,1,2,3} adalah bukan kelompok metode perkalian modulo 4.
Meskipun 1 dan 3 memiliki invers, unsur-unsur 0 dan 2 tidak.
{0,1,2,3} bukan grup
Pembuktiannya:
1.
Asosiatif
Misal:
1 ( 2 . 3 ) = (1 . 2) 3
6 =
6 à
benar asosiatif
Syarat 1 terpenuhi
2.
Identitas
{0, 1, 2, 3} memiliki identitas yaitu 1
Syarat 2 terpenuhi
3.
Invers
{0,1,2,3}
§ Invers 0
Misal: 0 x
0 = 0
0 x 1 = 0
0 x
2 = 0
0 x 3 = 0
Maka 0 tidak memiliki invers
§ Invers 1
1 x 1 = 1 maka invers 1 adalah 1
§ Invers 2
2 x 0 = 0
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
Maka 2 tidak memiliki invers
§ Invers 3
3 x 1 = 3 = 1 mod 4 → maka invers 3 adalah 1
Syarat 3 tidak terpenuhi
Contoh 13
Himpunan bilangan bulat operasi pengurangan bukan grup, karena
operasi tidak asosiatif.
Dengan contoh yang diberikan jauh sebagai panduan, adalah kebijakan
bagi pembaca untuk berhenti sejenak di sini dan memikirkan contoh sendiri.
belajar aktif! tidak hanya membaca bersama dan disuapi oleh buku.
Misalkan :
{0,1,2,3,4}
Asosiatif
(1 – 2) – 3 = 1 – (2 – 3)
-1 – 3 = 1 – (-1)
-4 ≠ 2
Berarti terbukti bahwa bilangan bulat dengan operasi pengurangan
adalah bukan group
Contoh 17:
SL (2, Z5)
Z5 =
Carilah invers matrik A =
Determinan A = ad – bc
= 12 –
16 = -4 = 1 mod 5
Invers A =
=
Cek =
=
=
Contoh 18
GL (2, Z7)
Z7 =
Carilah invers matrik A =
Determinan A = ad – bc
= 12 –
30 = -18 = 3 mod 7
Invers 3 mod 7
adalah 5 mod 7 karena 3.5 = 15 = 1 mod 7
Invers A
=
=
=
Cek =
=
=
Soal dan Pembahasannya
1.
Tunjukkan
apakah Z15 grup!
2.
Buatlah
tabel Cayley untuk U(15) dan buktikan
apakah U(15) grup?
3.
Tentukan
invers dari
pada GL(2, Z5)!
4.
Tentukan
invers dari
pada SL(2, Z5)!
5.
Tunjukkan
bahwa {1, 2, 3} dengan operasi perkalian modulo 4 bukanlah grup sedangkan {1,
2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5 adalah grup!
Pembahasan
{1, 2, 3} mod 4 dengan operasi perkalian adalah bukan grup.
Syarat Grup:
1.
Asosiatif,
sebab → 1 (2 . 3) = (1 . 2) 3
2.
Identitas,
yaitu 1
3.
Tidak
memiliki invers, karena:
1 . 1 = 1 maka
invers 1 adalah 1
2 . ≠ 1
3 . 3 = 9 = 1 mod 4 maka invers 3 adalah 3
Karena 2 tdak mempunyai invers, maka {1, 2, 3} adalah bukan grup
v {1, 2, 3, 4}
mod 5 perkalian adalah grup
Syarat grup:
1.
Assosiatif,
karena
(2
. 3)
. 4 = 2 . (3 . 4)
1 . 4 = 2 . 2
4 = 4
2.
Identitas
Yaitu 1
merupakan identitas
3.
Invers
1 . 1 = 1 → invers 1 adalah
1
2 . 3 = 6 → 1
mod 5, maka invers 2 adalah 3
3 . 2 = 6 → 1
mod 5, maka invers 3 adalah 3
4 . 4 = 16 → 1 mod 5, maka invers 4 adalah 4
No. 5, hal 52
GL (2, Z11)
Z11 =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Invers matrik A =
Det. A = ad – bc
= 10 – 18 = -8 =
3 mod 11
Invers determinan 3
mod 11 adalah 4, karena 3 . 4 = 12 = 1 mod 11
InversA
Cek
No. 25, hal. 53
+
|
E
|
a
|
B
|
c
|
d
|
E
|
E
|
a
|
B
|
c
|
d
|
A
|
A
|
b
|
C
|
d
|
e
|
B
|
B
|
c
|
D
|
e
|
a
|
C
|
C
|
d
|
E
|
a
|
b
|
D
|
D
|
e
|
A
|
b
|
c
|
+
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
2
|
2
|
3
|
4
|
0
|
1
|
3
|
3
|
4
|
0
|
1
|
2
|
4
|
4
|
0
|
1
|
2
|
3
|
Penyelesaiannya dengan menggunakan operasi penjumlahan.
SIFAT-SIFAT
DASAR DARI GROUP
Sekarang
kita dapat melihat banyak macam contoh dari sebuah group. Kami ingin memberi
kesimpulan beberapa sifat yang mereka berikan. Definisi itu sendiri memunculkan
pertanyaan yang fundamental. Setiap group memiliki satu identitas.
Pertanyaannya apakah group memiliki identitas lebih dari satu? Setiap group
memiliki satu invers. Pertanyaannya apakah group memiliki invers lebih dari satu?
Sekarang tidak bisa membuktikan bahwa setiap group memiliki identitas tunggal
hanya dilihat dari contohnya, karena setiap contoh tidak dapat dipisahkan dari
sifat yang tidak bisa diberikan oleh setiap group.
Teorema 2.1 Ketunggalan Dari Suatu Identitas
“Di
dalam sebuah group, hanya ada 1 element identitas”
Bukti. Andaikan
kedua ini e dan e’ adalah identitas dari G.
Lalu,
1. ae = a
semua bagian a dalam G, dan
2. e’a = a
semua bagian a dalam G.
Pilihan
dari a = e’ adalah yang nomor satu
(1) dan a = e adalah yang nomor dua
(2) hasilnya adalah e’e = e’ dan e’e = e. Dengan demikian e dan e’ adalah sama dengan e’e
dan begitu juga sama pada setiap lainnya.
Jadi pada
intinya, bahwa dalam satu group itu hanya ada satu (1) identitas, penyimbolan
identitas, penyimbolan identitas dalam group adalah e (karena berasal dari bahasa Jerman, Einheit yang berarti
identitas).
Teorema 2.2 Pembatalan
“Didalam
group G dari kanan ke kiri dengan menggunakan hukum didalam pembatalan yang
saling berkaitan dengan ba = ca yang mengakibatkan b = c, dan ab = ac
mengakibatkan b =c.”
Bukti. Dengan
menggangap bahwa ba = ca. Maka a’ adalah invers dari a. Kemudian, dikalikan dari kanan untuk a’ menghasilkan (ba)a’ =(ca)a’. Maka akan menghasilkan sifat asosiatif b(aa’) = c(aa’). Kemudian, be = ce dan maka dari itu, b = c. Lalu, kita membuktikan bahwa ab = ac implikasi dari b =
c. Perkalian a’ dari
kiri.
Pemecahan
masalah yang ada didalam sifat cancellation yang ada didalam tabel Cayle yang
telah dibahas dengan menggunakan tabel dan kolom. (lihat latihan no. 24). Pemecahan
sifat cancellation akan lebih diperdalam didalam materi Ketunggalan dari
Invers.
Teorema
2.3 Ketunggalan Dari Invers
“Untuk setiap elemen a dalam group
G, ada sebuah b
elemen tunggal dalam G sehingga ab = ba = e”
Bukti. Jika b
dan c
keduanya invers dari
a. maka ab = e
dan ac = e, sehingga ab = ac
itu. Sekarang abaykan a.
Seperti yang terjadi dengan elemen identitas,
itu adalah biasa, dalam pandangan Teorema
2.3, untuk berbicara tentang "invers" dari elemen group g; dan,
pada kenyataannya, kita jelas dapat menunjukkan itu
dengan g-1.
Notasi ini disarankan
dengan yang digunakan untuk bilangan real
biasa terhadap perkalian. Sama, ketika n adalah bilangan bulat positif, gn
digunakan untuk menunjukkan
hasil.
gg..............g (n
faktor)
Kita mendefinisikan g0
= e. Bila n
negatif, kita mendefinisikan gn = (g-1)-n
[misalnya, g-3
= (g-1)3] dengan notasi, hukum akrab
eksponen pegangan untuk group; berlaku
untuk semua bilangan bulat m dan n dan semua elemen group g, kami telah gmgn
= gm+n dan (gm)n
= gmn. Walaupun salah satu cara
memanipulasi ekspresi group yang melibatkan dua elemen
group. Sehingga untuk
group umum, (ab)n
≠ anbn (lihat
latihan no. 15).
Kita juga harus berhati-hati dengan notasi
ini ketika berhadapan
dengan group tertentu yang pasangan operasinya adalah penambahan dan menyatakan
dengan "+". Dalam hal ini, definisi
dan properti group
dinyatakan dalam notasi perkalian harus diartikan
ke notasi penjumlahan. Misalnya,
invers g ditulis sebagai
-g, demikian
juga misalnya g3di tulis g + g + g dan biasanya di tulis seperti 3g, sedangkan g-3 di tulis (-g) + (-g)+(-g)
dan ditulis seperti
-3g. Notasi penjumlahan.
Tabel 2.2
Group Perkalian
|
Group Pembagian
|
||
a . b
atau ab
|
Perkalian
|
a + b
|
Pembagian
|
e
atau 1
|
Identitas atau satu
|
0
|
Nol
|
a-1
|
Perkalian invers dari a
|
-a
|
Penjumlahan invers dari a
|
an
|
Power dari a
|
na
|
Perkalian dari a
|
ab-1
|
Hasil bagi
|
a - b
|
Pengurangan
|
yang digunakan, jangan "ng" sebagai menggabungkan n dan
g di dalam operasi group; n
bahkan mungkin tidak menjadi unsur group! tidak
seperti kasus untuk bilangan real dalam group
abstrak, kami tidak mengizinkan eksponen bukan bilangan bulat seperti g½. Pada
Tabel
2.2 menunjukkan notasi
umum dan terminologi
yang sesuai dengan group dalam perkalian
dan penjumlahan dalam group. Seperti dalam kasus untuk
bilangan real, kita menggunakan a-b sebagai
singkatan untuk a+(-b).
Karena mempunyai sifat asosiatif, kita jelas dapat
menulis tanda abc, untuk hal ini dapat diartikan
sebagai hanya cukup (ab)c atau a(bc), yang
sama. Pada kenyataannya,
dengan induksi menggunakan
dan penerapan berulang dari sifat asosiatif, seseorang
dapat membuktikan sebuah sifat asosiatif
umum bahwa pada
dasarnya berarti kurung dapat dimasukkan atau dihapus
tanpa akan mempengaruhi nilai suatu
hasil yang melibatkan jumlah elemen
group. Demikian
dan
sebagainya.
CATATAN
SEJARAH
Kami menutup bab
ini dengan sedikit sejarah mengenai sifat tidak komutatif dari matrik
perkalian. Pada tahun 1925, Teori Kuantum merupakan teori yang penuh dengan
mengubah dan menyusun ambiguitas. Dia Werner Heisenberg yang berpengaruh pada
hal tersebut. Dia mengamati hasil dari teori analogi yang tidak perlu merubah
seri klasik Fourier. Atas semua kegigihannya yang mengguncangkan Heisenberg.
Seperti dalam suratnya [Bab 2, hal 94]:
Dalam
penelitian, saya sangat tidak setuju tentang fakta xy yang tidak sama dengan yx.
Saya rasa itu hanya sebuah kesukaran dalam keseluruhan rencana, sebaliknya saya
sangat bahagia. Namun kesukaran ini membuat saya sangat khawatir dan saya tidak
dapat memecahkan masalah itu.
Heisenberg
berbicara kepada gurunya Max Born, jika ide-idenya dipublikasikan akan sangat
berharga. Dengan munculnya pendekatan baru milik Heisenberg sangat mengagumkan
dan sangat mendalam. Seperti dalam tulisannya [Bab 1, hal 217]:
Setelah
pengiriman karya ilmiah atau hasil penelitian Heisenberg untuk Zeitschrift fur Physik agar
dipublikasikan. Saya memulainya dengan mempertimbangkan simbol perkalian dan
akan segera berbelit-belit mengenai gagasan saya tentang keseluruhan jumlah
dari tidur yang nyenyak pada malam hari. Saya rasa akhir dari sesuatu hal yang
pokok akan mengalami penyempurnaan dalam beberapa tahun. Suatu hari, pada
tanggal 10 Juli 1925, saya tiba-tiba melihat cahaya, tidak hanya simbol
perkalian Heisenberg, namun kalkulus
matrik. Sejak itu saya mengenalkan kepada murid saya dari dosen Rosanes di
Breslau.
Born dan
muridnya, Pascual Jordan, memformulakan kembali ide Heidenberg di dalam teorema
Matrik, tapi Heisenberg yang mengkreditkan formulanya. Di buku autobiografinya,
Born Lament [Bab 1, hal 219]:
Sekarang,
semua Buku berbicara tentang Matrix Heisenberg, Hukum Commutation Heisenberg,
dan Direc Filed Quantization. Kenyataanya, Heisenberg tahu waktu sangat sedikit
untuk mempelajari matrik.
Pada tahun 1933,
ia menerima hadiah Nobel untuk karyanya selama ini. Lalu ia mengirim surat kepada
Max Born [Bab 1, hal 220]:
Jika
saya selama ini belum menuliskan sesuatu kepada anda, dan saya belum berterima
kasih atas ucapan selamat anda. Itu karena sebagian dalam diri saya buruk, yang
tidak menghormati anda. Dan kenyataanya saya mendapatkan hadiah Nobel Prize sendiri,
untuk pekerjaan yang saya, kamu dan Jordan lakukan di Gottingen, dan ini
membuat saya berat dalam menuliskan surat ini kepada anda. Saya senang upaya
yang kita lakukan bersama di beri apresiasi atau penghargaan, dan saya selalu
senang tentang ingatan-ingatan kebersamaan dan kerja sama kita. Saya sangat
percaya, para fisikawan-fisikawan tahu betapa hebatnya anda dan Jordan dalam
kontribusi kalian dalam menyusun teori Kuantum, walaupun tidak merubah keputusan.
Mungkin saya perlu berterima kasih lagi atas kerjasama yang telah kita lakukan
selama ini.
Certia pun
berakhir indah, bagaimanapun Max Born tetap mendapatkan hadiah dari Nobel di
tahun 1945 untuk Landasan Kuantum yang ia kemukakan.
Latihan
(Hal. 52 dan 53)
5. Carilah unsur invers dari 2 6 elemen di GL (2, Z11). 3 5
Jawaban:
2 6 elemen di GL (2, Z11).
3 5
Det = (2 . 5) – (3 . 6)
= 10 -18
= -8
= 3 mod 11
GL (2,
Z11)
Invers: a b d -b
c d -c a
2 6 = 5
-6
3 5
-3 2
= 5.4 5.4
8.4 2.4
= 9 9
10 8
Bukti: 2 6
9 9 =
1 0
3
5 10 8 0 1
17. Buktikan bahwa group G adalah abelian jika dan hanya jika (ab)-1 = a-1 b-1 untuk
semua a dan b
di G.
Jawaban:
(ab)‑1
= a-1b-1 untuk semua a dan b di G
Bukti: a group G = abelian
(ab)a-1
b -1 = a(b.b-1).a-1
= a.e.a-1
= e
(ab)(a-1b-1)
= abelian
18. Di dalam group, buktikan bahwa (a-1)-1 = a untuk
semua a.
Jawaban:
(a-1)-1
= a
G = {a}
Dengan
menggunakan identitas: (am)n
= amxn
Maka:
(a-1)-1 =
=
= a
Sip postingannya.
BalasHapusuk all kunjungi www.ebook-matematika-sd.com
Jika Q adalah himpunan bilangan rasional dan * adalah operasi pada Q yang didefenisikan
BalasHapussebagai
𝑎
𝑏
∗
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
−
3
5
𝑥
𝑐
𝑑
untuk setiap
𝑎
𝑏
,
𝑐
𝑑
ϵ Q, maka
2
3
∗
1
6
= ....