LAPORAN
PENELITIAN
PEMETAAN GRUP
QUASI KE IMAGE HOMOMORFISME
Dosen Pengampu
:
Evawati
alisah,M.Pd
Oleh
Rifal Andika
Faisal
(13610018)
JURUSAN
MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS
ISLAM NEGERI (UIN) MAULANA MALIK IBRAHIM
MALANG
2015
Kata pengantar
Alhamdulillah, puji syukur kepada
Allah Swt atas rahmat, nikmat, taufiq, dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat
menyelesaikan laporan penelitian ini dengan baik. Sholawat serta salam semoga
senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad Saw yang telah membawa menuju agama
yang benar yakni agama Islam.
Selanjutnya penulis
ucapkan terima kasih karena do’a dan harapan kepada semua pihak yang telah
membantu selesainya laporan penelitian ini. Ucapan terima kasih ini penulis
sampaikan kepada:
1.
Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo,
selaku rektor Universitas Islam Negeri Maulana
Malik Ibrahim Malang.
2.
Dr. drh. Hj. Bayyinatul
Muchtaromah, M.Si selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam
Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
3.
Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku
ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
4.
Evawati Alisah, M.Pd, selaku
dosen pembimbing yang telah banyak memberikan arahan, nasihat, motivasi, dan
berbagai pengalaman yang berharga kepada penulis.
5.
Seluruh dosen dan staf
administrasi Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
bersabar dalam memberikan ilmu dan bimbingannya.
6.
Seluruh
teman-teman seperjuangan Jurusan Matematika angkatan 2013, dan adik-adik
tingkat yang telah memberikan dukungan kepada penulis dalam menyelesaikan
laporan penelitian ini.
7. Semua
pihak yang telah membantu penulis, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Semoga laporan penelitian ini
bermanfaat dan dapat menambah wawasan keilmuan khususnya ilmu matematika bagi
penulis sendiri dan pembaca, Amin.
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Malang, Desember 2015
Penulis
DAFTAR ISI
BAB I
Pendahuluan
1.1 Latar belakang
Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika. Sedangkan
cabang dari ilmu aljabar itu sendiri antara lain aljabar linear dan aljabar
abstrak. Struktur aljabar merupakan salah satu materi dalam aljabar abstrak.
Dalam studi struktur aljabar, pertama kali kita dihadapkan dengan
grup. Grup itu sendiri adalah suatu himpunan yang dilengkapi oleh satu operasi
biner.
Sebuah grup dapat dibangun berbagai jenis pembagian grup, salah
satunya adalah grup quasi atau grup hasil bagi. Ketika suatu grup akan menjadi
grup quasi tentunya mempunyai syarat-syarat yang harus dipenuhi.
Kita juga mengenal bahwasanya grup juga mempunyai suatu bayangan
yang dinamakan image homomorphic grup. Pemetaan dari grup quasi ke image
homomorphic grup juga ada syarat-syarat yang harus dipenuhi.
Dalam penelitian ini kita akan membahas lebih jauh dalam
menganalisis tentang pemetaan grup ke grup quasi dan juga membahas lebih jauh
lagi persoalan pemetaan dari grup quasi ke image homomorphic grup.
1.2 Rumusan masalah
a.
Bagaimana
pemetaan dari grup ke quasi grup (grup hasil bagi)?
b.
Bagaimana
pemetaan dari grup quasi (grup hasil bagi) ke Homomorphic Image grup tersebut?
1.3 Tujuan penelitian
a.
Untuk
mengetahui pemetaan grup ke grup quasi (grup hasil bagi).
b.
Untuk
mengetahui pemetaan dari grup quasi (grup hasil bagi) ke Homomorphic Image grup
tersebut.
1.4 Manfaat penelitian
a.
Bagi
mahasiswa
Sebagai media untuk mengaplikasikan dan pengembangan pengetahuan
aljabar, keterampilan riset dan kemampuan pemahaman penelitian.
b.
Bagi
Fakultas Sains dan Teknologi
1.
Meningkatkan
peran serta Fakultas dalam pengembangan wawasan keilmuan.
2.
Peningkatan
kualitas Fakultas dari segi pengembangan penelitian.
Flowchart
|
GRUP
|
|
GRUP
|
|
Homomorfisme
|
|
Grup Abel
|
|
Subgrup
|
|
Grup Quasi
|
|
Isomorfisme
|
|
Iso Grup
|
|
Grup Quasi yang isomorfisme grup
|
BAB II
Kajian Pustaka
2.1 Pengertian aljabar
Menurut Dr. Kusno Kromodihardjo (1998), yang dimaksud dengan suatu
struktur aljabar yaitu suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi dengan suatu
komposisi biner atau lebih. Misalkan S adalah suatu himpunan yang dilengkapi dengan
dua komposisi biner + dan *, maka S menjadi suatu struktur aljabar dan diberi
notasi (S,+,*).
Ilmu aljabar abstrak berkembang dengan pesat karena penerapan
karakteristik dari bentuk-bentuk struktur aljabar tersebut banyak bermanfaat
dalam pengembangan metode penyelesaian masalah yang bersifat abstrak dan sulit
direpresentasikan melalui operasi aljabar biasa. Beberapa topik penelitian
telah dilakukan sebelumnya yaitu oleh (Stefaan Caenepeel dan Alain Verschoren,
2009) tentang “Noncommutative Rings and Geometry” yang membahas non kumutatif
ring melalui sebuah grup, serta (D.A.R. Wallace, 2004) melakukan pembuktian
struktur aljabar ring dengan memanfaatkan teorema group.
2.2 Grup
Grup adalah suatu
himpunan tidak kosong yang dimisalkan
dengan S yang dilengkapi dengan satu operasi biner. Suatu grup dapat di
nyatakan dengan (S,*) dengan memenuhi aksioma-aksioma berikut (gilbert:2009):
a.
Tertutup,
artinya
maka berlaku
b.
Asosiatif,
artinya
maka berlaku (a.b).c = a.(b.c).
c.
Mempunyai
elemen identitas ditulis i, artinya
d.
Setiap
elemen mempunyai invers yang dapat di notasikan
yang merupakan invers dari
, artinya
sehingga dipenuhi
2.3 Subgrub
Jika G adalah grup dengan operasi biner *, ditulis (G, *), dan H
adalah himpunan bagian dari G dengan , maka H disebut subgrup dari G jika H
dengan operasi * juga merupakan grup.( Dwi
Lestari.2012)
jika diberikan suatu grup G dengan operasi * kemudian operasi *
merupakan operasi asosiatif. ada subset H dari grup G merupakan subgroup dengan
memenuhi aksioma
1.
H
mengandung identitas
2.
H
tertutup dalam operasi *
3.
H
memiliki invers pada setiap elemen.
2.4 Grup quasi
Himpunan factor (grup quasi) merupakan suatu Grup dengan perkalian yang
didefinisikan dalam G. Misalkan G adalah merupakan suatu Grup dengan H adalah
Subgrup dari G dan Relasi a ≡ b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G.
Akan kita tunjukkan himpunan faktor yang merupakan suatu Grup dengan perkalian yang
didefinisikan dalam G berlaku bila dan hanya bila koset kiri dari H dalam G aH
= {ah, h ∈ H} sama dengan koset kanan Ha = {ha, h ∈ H}(Adi
Setiawan : 2011).
Jika H adalah subgroup normal dari G, dan grup G/H memuat himpunan
dari grup H dalam grup G dinamakan grup quasi atau grup factor G oleh H.
(gilbert: 2009)
2.5 Homomorfisme
Homomorfisme merupakan struktur peta yang menghubungkan dua struktur aljabar. Setiap homomorfisme pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel
pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup faktor, selanjutnya
akan dibentuk pengkaitan baru dari domain homomorfisma ke grup faktor yang
dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisme baru yang disebut homomorfisma
natural(Cholily:2013).
Dalam mempelajari sistem, perlu juga mempelajari tentang suatu
fungsi yang mengawetkan operasi aljabar. Sebagai contoh, dalam aljabar linier
dipelajari tentang alih ragam linier ( linier transformation ). Fungsi ini T :
V ® W
mengawetkan penjumlahan dan pergandaan skalar.
Misalkan diberikan grup G dengan operasi * dan grup H dengan
operasi # yang dapat dinotasikan dengan (G,*) dan (H,#). ketika ada suatu
fungsi yang mengaitkan antara grub G dengan grup H yang dapat di tulis sebagai
berikut
akan berlaku
2.6 Image homomorfik
Misalkan f suatu pemetaan dari himpunan X kedalam himpunan Y dan misalkan
dan
. Didefinisikan bayangan
dari A dalam X
terhadap f adalah
dan Bayangan invers
dari B dalam X adalah
(Gilbert:2009)
2.7 Isomorfisme
Sebuah isomorfisme dari grup G ke grup G`adalah sebuah fungsi yang
memetakan grup G ke grup G` yang
mempunyai sifat satu-satu dari G ke G` dan untuk setiap
dan
berlaku
Grup
dikatakan isomorfisme dan dinyatakan
dengan
(gilbert:2009).
Teorema: jika
suatu
isomorfisme dari
ke
dan
adalah identitas dari
maka
adalah
identitas dari
dan juga
untuk semua
elemen
.
Bukti
: Misal
element
,
pada G maka
terdapat
element G sehingga
. dan juga
berlaku
dan
sehingga
adalah
identitas dari
, selanjutnya
untuk
element
kita peroleh
yang mengakibatkan
Missal
dan
adalah grup, grup G dikatakan isomorfisme
dengan
dengan notasi
memenuhi syarat-syarat berikut:
1.
surjektif (onto)
2.
injektif (satu-satu)
3.
homomorfisme
dikatakan
merupakan isomorfik
memenuhi sifat-sifat berikut:
1.
Grup
dan
mempunyai orde yang sama
2.
Grup
dan
keduanya abelian atau tidak abelian
3.
Grup
dan
keduanya siklik atau tidak siklik
BAB III
Pembahasan
3.1 Grup
Misalkan G sebuah himpunan tidak kosong bersama
dengan operasi biner (biasanya disebut perkalian) yang menunjukkan setiap
pasangan terurut (a, b) dari G suatu elemen dalam G ditandai oleh ab. Kita mengatakan
G adalah sebuah grup di bawah operasi ini jika mengikuti 3 sifat yang harus
dipenuhi (Hendrijanto:2011).
1.
Assosiatif.
Operasi tersebut assosiatif; yakni, (ab)b
= a(bc) untuk semua a, b,
c, dalam G.
2.
Identitas. Ada
suatu elemen e
(disebut identitas) dalam G, sehingga ae = ea = a
untuk semua a dalam G.
3.
Invers.
Untuk setiap elemen a dalam G, ada elemen b dalam G (disebut invers dari a)
sehingga ab = ba = e.
Sebuah grup adalah himpunan bersama dengan operasi
assosiatif sehingga ada identitas,
setiap elemen mempunyai
invers dan ada
pasangan dari elemen-elemen dapat digabungkan
tanpa keluar himpunan.
Kondisi ini disebut
tertutup. Penting untuk
menguji tertutup ketika
pengujian group. Catatan
bahwa jika a
adalah suatu invers dari b,
maka b adalah invers dari a.
Jika
sebuah group mempunyai
sifat bahwa ab
= ba untuk
setiap pasangan elemen a
dan b, kita
sebut Grup Abelian.
Suatu group bukan
Abelian jika ada beberapa pasang elemen a dan b
yang mana
.
Dalam sebarang group berlaku sifat-sifat
berikut:
1.
Hukum
kanselasi kiri : Jika ax = ay maka x = y
2.
Hukum
kanselasi kanan : Jika xa = ya maka x = y
3.
Anggota
identitas itu tunggal yaitu jika e dan e’
elemen G yang memenuhi
hukum identitas maka e = e’
4.
Invers
dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a
dan b merupakan
invers dari x maka a = b.
5.
Bukti :
1.
Diberikan
.
karna
adalah grup dan
maka terdapat
sehingga
dengan
merupakan identitas. Akibatnya :
dan dengan menggunakan hokum asosiatif didapat
dan dengan hokum invers didapat
akibatnya dengan hukum identitas
2.
Diberikan
.
karna
adalah grup dan
maka terdapat
sehingga
dengan
merupakan identitas. Akibatnya :
dan dengan menggunakan hokum asosiatif didapat
dan dengan hukum invers didapat
akibatnya dengan hukum identitas
3.
Karena
e suatu anggota identitas maka ee’ = e’. Pada sisi lain ee’ = e,
sehingga ee’ = e’ = e.
4.
Karena
a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb =
e.Karena anggota identitas itu tunggal maka xa = e = xb.Dengan
menggunakan hukum kanselasi kiri maka a = b.
5.
Karena
dan
maka
.
Contoh. (Z, +) adalah suatu grup. Tidak
hanya itu, (Z, +) bahkan suatu grup komutatif karena untuk sebarang x,
y ∈ Z
berlaku x + y = y + x.
3.2 Grup Quasi
Suatu koset misalkan
dapat digunakan untuk membentuk system aljabar
yang baru. Misalkan
merupakan subgroup dari
, dapat
dibentuk himpunan semua koset kiri dari
yaitu
Anggota
yang berbeda dapat saja membentuk koset yang
sama. Untuk itu diperlukan cara untuk menyajikan kesamaan dari dua koset
(Gilbert:2009).
1.
Koset
dan
sama jika dan hanya jika
.
2.
jika dan hanya
jika
.
Jika
merupakan subgroup normal dari
, sebuah grup
merupakan koset dari
dalam
dinamakan grup
quasi atau juga disebut grup factor dari
oleh
Misalkan
subgrub normal dari grup
, himpunan
yang didefinisikan dengan :
}
dengan operasinya mempunyai aturan
.
Teorema:
Sistem
(grup hasil bagi) merupakan grup dengan bukti
:
1.
Akan
dibuktikan bahwa operasi pergandaan dalam
bersifat tertutup. ambil sebarang
dalam
. Karena
dengan
dalam
hal ini berarti
merupakan anggota
.
2.
Akan
dibuktikan bahwa dalam
berlaku sifat asosiatif.
Ambil
dalam
. Karena
dalam
maka
dan
untuk suatu
berarti dalam
berlaku sifat asosiatif.
3.
Akan
dibuktikan bahwa dalam
terdapat anggota identitas. Anggota
yaitu
merupakan identitas dalam
karena untuk sebarang
dalam
berlaku
Berarti
merupakan identitas dalam
.
4.
Akan
dibuktikan bahwa untuk setiap anggota
mempunyai invers dalam
. Ambil
sebarang
dalam
. Karena
dalam grup
maka terdapat
dalam
sehingga
sehingga
dan
. Hal ini
berarti
merupakan invers dari
.
Dari (1),(2),(3), dan (4) terbukti bahwa
merupakan grup.
3.3 Image homomorfik
Misalkan
merupakan homomorfisme dari suatu grup
ke grup
. jika
menunjukan identitas dalam
dan
menunjukkan identitas dalam
, maka
1.
2.
untuk semua
.
contoh : anggap suatu operasi penjumlahan grup Z dan suatu
pemetaan
didefinisikan
dengan
untuk semua
karena
Suatu ephimorfisme dari grup
ke grup
, maka
disebut image homomorfik
(Gilbert:2009). Contoh :
Untuk posisi bilangan n > 1 mengingat
pemetaan
dari
penjumlahan grup Z ke penjumlahan grup
didefinisikan
dengan
dimana [x] adalah kesesuaian golongan dalam
bahwa
mengandung x. Dari seluruh penjumlahan dalam
bahwa
Dengan demikian
adalah homomorfisme dan menurut definisi of
bahwa
adalah pemetaan yang onto, pemetaan Z ke
merupakan
epimorfisme. Dengan kata lain
merupakan
image homomorfik dari Z.
3.4 Pemetaan grup ke grup quasi
Pemetaan suatu grup ke grup quasi dapat di ilustrasikan dalam
definisi yang telah duberikan sebagai berikut(Gilbert:2009) :
Misalkan G merupakan sebuah grup, dan misalkan
adalah subgroup normal dari
. Pemetaan
dapat di definisikan dengan,
dan
merupakan epimorfisme dari
ke
.
Dari
pernyataan diatas dapat disimpulkan bahwa pengaitan dalam pemetaan grup ke
quasi grup haruslah epimorfisme atau dengan kata lain pemetaan
bersifat onto dan bukan satu-satu.
Untuk definisi
dalam pemetaan dari
ke
. untuk setiap
dan
dalam
berlaku:
dengan
merupakan subgroup normal dari grup
.
Contoh
: diberikan sebuah grup
dan subgroup normal
. menurut
definisi pemetaan
adalah epimorfisme, nilai-nilai dari
memberikan keadaan seperti
3.5 Pemetaan grup quasi ke image homomorfik
Misalkan diberikan suatu grup
dan grup
dimana
merupakan image homomorfik dari
. Akan
ditunjukkan bahwa
merupakan isomorfisme ke quasi grup dari
(Gilbert:2009).
Misalkan
merupakan epimorfisme dari grup
ke grup
, dan misalkan
. untuk setiap
dalam
, didefinisikan
dengan
Akan dibuktikan definisi menentukan suatu
pemetaan. untuk setiap
dan
dalam
,
dengan demikian
adalah didefinisikan dengan baik pemetaan dari
ke
, dan statmen
itu menunjukkan bahwa
adalah satu-satu.
Ditunjukkan bahwa
merupakan isomorfisme dari
ke
demikian
adalah homomorfisme. Untuk menunjukkan
, misalkan
sewenang-wenang dalam
dengan
adalah epimorfisme, ada sebuah elemen
dalam
seperti
. kemudian
ada dalam
, dan
Dengan demikian setiap elemen dalam
adalah image bawah, dan ini membuktikan bahwa
adalah suatu isomorfisme.
BAB IV
Penutup
4.1 Kesimpulan
1.
Pengaitan
dalam pemetaan grup ke quasi grup haruslah epimorfisme atau dengan kata lain
pemetaan
bersifat onto dan bukan satu-satu.
2.
pengaitan
pemetaan grup quasi ke image homomorfik haruslah isomorfisme dan pemetaan oleh
fungsi
adalah satu-satu.
4.2 Saran
Pada penelitian
ini penulis mengkaji perumusan tentang struktur aljabar yaitu pengaitan
pemetaan quasi sebagai aplikasi dari grup guasi. Bagi penelitian selanjutnya dapat
dikembangkan dengan mengkaji bentuk aljabar lainnya seperti grup siklik, grup
permutasi, dan lain-lain.
Daftar Pustaka
Cholily,Muhammad.2013.Homomorfisme.Malang.UMM
Gilbert. 2009. Elements of Modern Algebra.
USA: Belmont
Hendriyanto.2011.Diktat Kuliah Struktur Aljabar 1 (Teori Grup).Madiun.Ikip
PGRI Madiun
Kromodihardjo,Kusmo.Struktur
Aljabar….
Lestari,Dewi.2012.Subgrup.Yogyakarta.UNY
Setiawan,Adi.2011.Aljabar Abstrak
(Teori Grup dan Teori Ring.Salatiga.UKSW
